迷走の果て・Tiny Objects

迷走する日々の覚え書きです。自分で分かってることは省略してますので、念のため。

コルピッツ発振回路の発振周波数を求める(1)

「LCR回路の伝達関数を求める」関連の記事は、前にも書いたようにリンクさせていただいているセッピーナさんの記事をみてはじめたものです。
コルピッツ発振回路の発振条件 - LCだけでは決まらない発振周波数
コルピッツ発振回路の発振条件 - LCだけでは決まらない発振周波数(2)
コルピッツ発振回路の発振条件 - LCだけでは決まらない発振周波数(3)

ここでは今までやってきたことを整理しなおしてみます。ただし必ずしも時系列どおりに書きません。

コルピッツ発振回路です。
コルピッツ発振回路
上記の回路が発振する条件は、ジャンパを切ったときの入力と出力の位相が0度(360度でも同じ)且つ利得が1です。
バルクハウゼンの発振条件と言います。
ここでは発振周波数を求めます。
Aは位相遅れの無い理想的な反転増幅器とします。これに位相遅れがあると話がいっそう複雑になるので^^;;
Aで位相は180度回転するのでLCRで構成される回路の位相が180度回転する周波数を求めればそれが発振周波数になります。
LCRの値が具体的に決まればLTspiceなどのシミュレータで位相が180度回転する周波数はわかります。
また、セッピーナさんが行われたようにエクセルを使う方法もあります。これは思いつきませんでした。

解析的に解けないかと思いつき、伝達関数を求めたのが過去の記事にあります。
LCR発振回路の伝達関数を求める・まとめ(1)
間違いを見つけたので訂正してありますが、もう無いとは言い切れません。ここ数日maximaを使ってあれこれ計算しています。今のところおかしな点はありませんが、間違いが見つけられないからといって正しいとはいえません。

さて伝達関数は周波数の関数で複素数になります、極めて荒っぽく言えば次のような式になります。
H(f)=X(f)+jY(f)
ここで j は虚数単位です。数学では i ですが、電気の世界では j で表します。i は電流のことですからね、電気の世界では。
ここで言う伝達関数は伝達関数法 - Wikipediaにある周波数伝達関数のことです。
s=jωとおきますが、求めたいのは周波数であって、角周波数ではありません。そこで上記のような式にしました。

さて求めたいのはH(f)において位相が180度回転する周波数です。
これは虚部Y(f)=0とおけば求まりますが、計算が厄介です。
上記のLCR回路の伝達関数を再度載せておきます(ここでは変数にωを使ってます、記述する上ではこの方がラクなので・・・)
コルピッツ計算式4
この式から手計算で虚部だけ出すのは不可能でしょう。
数式処理ソフトmaximaでやってみたら、求まりはしましたが、とんでもない式になってしまいました、とてもここに載せられません。

そこで上記の回路のLCRに具体的な値を入れた場合の計算してみました。
シミュレーターは既に使ったので次にmaximaを使いました。二つ方法があります。一つは伝達関数から求める方法、もう一つは回路方程式から求める方法です。
回路方程式から求めるほうがはるかに簡単です、わざわざ伝達関数を求める必要がありませんから。
じゃあ伝達関数を求めるのに悪戦苦闘したのは無駄だったのか、とは思いたくありません^^;;

続く

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